0.999...는 어디서 왔는가?

0.999...는 어디서 왔는가?

Ein Gespenst ist noch wie eine Stelle, 

dran dein Blick mit einem Klange stößt; 

aber da, an diesem schwarzen Felle 

wird dein stärkstes Schauen aufgelöst: 

이것에서 사람들은 유령을 보았습니다. 

유령에 홀린 것만 같은 사람들입니다. 

수학에 유령이 존재합니다. 

최대한 수학을 이야기하고 싶었던 이 글은 

무엇인가 문제에 빠져 그 뜻을 잃어버리고 

또다른 비자명적인 주제로 나아가야 했다. 

글은 일반적인 수학 공식과 정리와 이론으로 끝날 수 없었습니다. 

유령은 그렇게 달랐습니다. 

저는 유령이 존재함을 확신하기 때문입니다.

Stan Getz & Luiz Bonfá - Saudade Vem Correndo

유령은 말한다. 

나는 선지자가 아니다. 나는 벽이 있는 곳에 창문을 달아주기만 할 뿐이다.

의미와 관련없이 "담론" 이라는 언어를 붙이겠습니다. 

0.999...에 대한 담론을 정리하려고 합니다. 

소모적이고 지속적인 이 긴 시간동안 담았던 것이 무엇이었을까요. 

사람들은 왜 이 유령에 홀려 있던 것일까요. 

먼저 Promise를 하나 두겠습니다. 

Promise 1. 

0.999...가 1인지 1이 아닌지에 있어 

물질적이거나, 실체적인 것이 답의 근거가 될 수 없다. 

이 Promise를 결정한 이유는 

0.999...에 대한 논쟁에서 가장 많이 나오는, 다음과 같은 담론을 막기 위해서입니다. 

Question 1. 

"0.999...가 자연상태에 있는 거냐? 저런 수가 정말로 세상에 존재할 수 있는 것이냐?" 

"0.999...에 9가 끝없이 이어졌다는 것이 어떤 효용성을 가진다는 건데?" 

"무한대와 인간의 삶의 연관성은 없다. 무한대의 존재론과 가치를 설명할 수 없지 않느냐?" 

무색해졌고, 전에 너무나 많이 진행되었습니다. 

이 담론을 주제로 정하는 것은 피로도를 높일 뿐입니다. 

Promise라고 두고 이것을 제외하는 것이 옳다고 결정하였습니다. 

Answer 2. 

"0.999... = 1 에 대해, 0.999...를 S라고 둔다. 

S = 0.999... 

10S = 9.999... 

10S - S = 9 

9S = 9 

S = 1" 

의미와 관련없이 "intuition" 이라는 언어를 붙이겠습니다. 

intuition이란 단어를 생각할 수 있습니다. 

혼란 속 아이를 위한 intuition이라고 생각합니다. 

유령에 홀린, 0.999... = 1 을 믿지 않는 사람들은, 이것이 쓸모가 없어집니다. 

"1/3 = 0.333..." 로 진행되는 증명도 같이 생각할 수 있습니다. 

같은 형태의 함정을 가진 증명들입니다. 

0.999... = 1의 증명에 직접 접근하려 드는 것이 아니라 

이 문제를 좀 더 덜 모순되어 보이는 다른 문제로 바꾼 것입니다. 

이런 접근에서 다른 문제가 나옵니다. 

문제를 다른 문제로 옮기는 과정이 참이었는지를 보여야 하고, 

과연 그 다른 문제가 정말 참일 수 있는지도 보여야만 할 것입니다. 

1/3 이야기가 그렇게 각광받지 않는 이유는 무엇일까요. 

나쁘게 말하자면, 1/3은 아이를 함정에 빠뜨리기에도 너무 단순한 것이라서겠죠.

이것을 대답이라고 할 수 없습니다. 

아래에는 사람들을 위한 Question이 존재할 것입니다.

Answer 2에 대한 - Question 2 - 1. 

극한은 성질 X을 가지고 있지 않음을 증명하겠다. 

성질 X가 있다고 가정한다. 

0.999...를 S라고 두자. 

S = 0.999... 

10S = 9.999... 

10S - S = 9 

9S = 9 

S = 1 

0.999... = 1 이다. 

따라서 극한은 성질 X를 가지고 있지 않다. 

Question 2 - 2. 

우리가 저학년때 배운(받아들인) 정리 중에서 

"수렴하는 수열 A_n, B_n이 있고 모든 자연수 n에 대해 A_n > B_n 이면, 

lim A_n 은 lim B_n 보다 크'거나 같다' " 가 있듯이, 

수열의 극한 등의 극한을 다루는 수학적 구조들은 기존에 쓰던 "우리가 아는 것" 과 다름이 틀림없다. 

우리가 명확하다고 본 다른 수들과 같은 규칙을 가지지 않을 거라는 것이다. 

그런데 이러한 불명확한 주제를 어찌 그리 자유자재로 쓸 수 있다는 것인가? 

명확성이 없는 현 상황에서, 이것은 증명이 아니라 조작이라고 봐야 한다. 

극한이 과연 어떤 기능을 가지는지, 과연 사칙연산을 포함한 기존의 수학에서 어떤 대응성을 가질지 제대로 된 접근이 나와있지 않기 때문이다. 

다음을 통해서 더 간단히 설명해보겠다. 

1/3 = 0.333... 이므로 3/3 = 0.999... = 1 이라는 증명은, 

0.999... 가 1이라는 것을 증명해주는 것이 아니라 오히려 1/3이 0.333... 이 아님을 증명해준다고 할 수 있지 않는가? 

이제 S에 대한 사례로 넘어가겠다. 

이것이 "9.999... - 0.999... = 9" 가 아님을 증명하는 것이 아니라고 자신할 수 있는가? 

이것이 "S가 0.999... 일 때 10S는 9.999... 이다" 가 아님을 증명하는 것이 아니라고 자신할 수 있는가? 

이것이, 심지어는, "0.999... 를 S라고 둘 수 있다" 가 아님을 증명하는 것이 아니라고 자신할 수 있는가? 

Question 2 - 3. 

9.9 - 0.99 = 8.91 

9.99 - 0.999 = 8.991 

9.999 - 0.9999 = 8.9991 

... 

따라서 9S = 9가 아니라 8.999... 이다.

문제를 함축하는 것이 좋을 것 같습니다. 

Question 2는, 이야기가 상당한 합리성을 보일지라도 엄밀성은 갖추지 못할 수 있음을 호소합니다. 

0.999...는 0.999... 그 존재 자체와, 그에 있는 극한을 이야기해야 함을 호소합니다. 

이곳에서 저는 Thesis를 제시하겠습니다. 

Thesis 1. 

0.999... 에 대하여, 다음은 인정된다. 

이제 이 극한을 다룬 이 식의 값이 1인지 아닌지를 다뤄야 한다. 

(Thesis는 theorem이 아닙니다. 이것은 유령을 더 쉽게 보기 위한 편의에 지나지 않습니다.)

Answer 3 : 

[ 

단조증가하는 수열이 유계하면 수렴한다는 것 따위의 증명은 넘기겠다. 

너도 자명하다고 받아들일 테니까. 

] 

e>0이 주어졌다고 보자.

1 / 10^N < e 를 만족하는 자연수 N을 둘 수 있다. 

1 - {sigma (1 to n) 9 / 10^n} = 1 / 10^n 이다. 

N 이상의 자연수 n에 대해 dist(x_n - x) = 1 / 10^n

1 / 10^n < 1 / 10^N < e. 

임의의 e>0에 대하여 자연수 N이 존재하여 N 이상인 자연수 n에 대해 dist(x_n - x)이 e>0보다 작음을 보였다. 

따라서 0.999... = 1이다. 

이것이 바로 해석학을 도입한 대답, 

현재까지의 0.999... 담론에서 가장 이상적이라고 판단되는 그 논법을 사용한 대답입니다. 

왜 이 논법은 Answer라고 받아들여질까요. 

이 Answer 자체가 극한을 다루지 않는다는 점에 있을 것입니다. 

무한이 없습니다. 사람들이 주장했던 "아주 조그만 그 무언가" 도 없습니다. 

문제에서도 있었던 ...마저 없습니다. 

0.999...를 1로 인정하지 않는 사람들의 경우에도

1 - {sigma (1 to n) 9 / 10^n} = 1 / 10^n 은

그들이 생각하는 수학적 구조, "우리가 아는 것" 내에서 참인 식이기에 인정할 것입니다. 

그렇게 더 이상 엄밀히 정해지지 않았던 다른 개념들을 쓸 이유가 없어졌다는 것이죠 

... 글쎄요. 이 Answer 자체가 극한이란 점에 있을 것입니다. 

증명을 위해 극한 그 자체에 논법을 도입해야 했습니다. 

모든 극한을 어떻게 제시해야 하는지를 전부 설명할 수 있으며, 

이를 쓰지 못하는 모든 것을 극한이 아니라고 할 수 있어야 했습니다. 

그렇기 때문에 이것을 Answer라고 받아들일 수 있던 것입니다. 

Thesis 2. 

0.999...가 1임을 보이는 증명들은 평범한 수학 정리의 증명과는 다른 점을 보인다. 

이것들은 극한을 어떻게 정의했는지 논법을 제시한 것에 가깝다. 

0.999... = 1의 "증명"들은, 증명이라기보단 극한을 어떻게 생각했는지 알린 것과 다름없다. 

현재 제가 아는 논법 중에서, 가장 마음에 든 증명은 다음과 같았습니다. 

"실수 체계에서 infinitesimal은 0밖에 없다. 

따라서 0.999... = 1이다."

Question 3. 

그 어떤 자연수 N을 두더라도 1 / 10^N < e 가 성립하지 않는 e>0가 있을 수 있지 않은가? 

Answer 4. 

그 질문을 할 것이라고 전부터 예측하고 있었다. 

1 / 10^N < e 을 고치면 - log_10 e < N 이라는 식으로 바꿀 수 있다. 

따라서 이 문제는 "e>0에 대한 어떤 큰 수 - log_10 e을 제시했을 때, 이보다 더 큰 자연수 N이 존재하지 않을 수 있다" 와 동치가 될 것이다. 

이것은 실수 체계의 성질 중 하나인 Archimedean property 에 의해 불가능하다. 

따라서, 그러한 e>0는 존재하지 않는다.

Question 4. 왜 실수 체계를 써야만 하는가?